Способы решения тригонометрических уравнений с примерами. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

Sin x + cos x – 1 = 0 ,

Преобразуем и разложим на множители выражение в

Левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,

tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида :

a sin x + b cos x = c ,

Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого

При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.

Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.

По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замена переменной

Схема решения

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод понижения порядка уравнения

Схема решения

Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однородные уравнения

Схема решения

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

Схема решения

Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.

С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.

Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?

В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.

Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.

Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.

Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке .

Решение:

I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке (рис. 1).

Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке , то уравнение содержит два корня на данном промежутке.

II способ. С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку , в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.

III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.

Ответ: 2 .

В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.

Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].

Решение:

Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:

x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);

x = πk, k – целое число (k € Z);

Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.

Ответ: 5.

Пример 3. Найти количество корней уравнения cos 2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].

Решение:

Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x · cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:

sin x = 0 или sin x – cos x = 0.

Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:

sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.

Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:

sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:

x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.

Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].

Ответ: 5.

Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].

Решение:

Перепишем уравнение в следующем виде:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.

Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Раскроем скобки:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2 .

Так как tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 , а значит

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Теперь исходное уравнение имеет вид:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.

Сделаем обратную замену, имеем:

tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.

tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.

По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:

tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Ответ: π/2.

Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].

Решение:

Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид

2sin 2x · cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:

sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 или cos x = 1/2;

2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Таким образом, имеем корни

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Ответ: -π/6.

Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].

Решение:

Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:

x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).

Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).

Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.

Ответ: 3.

Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть

x 2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

Задача №1

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

То мы бы записали вот такой ответ:

Или (так как)

Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

Тогда можно записать:

Наша с тобою цель - сделать так, чтобы слева стоял просто, без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при: для этого домножим наше равенство на:

Теперь избавимся от, разделив на него обе части:

Теперь избавимся от восьмёрки:

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать.

Рассмотрим вначале первую серию:

Ясно, что если мы будем брать то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит нужно брать отрицательным. Пусть.

При корень будет уже:

А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен.

Теперь рассматриваем вторую серию:

И опять подставляем: , тогда:

Не интересует!

Тогда увеличивать больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть, тогда:

Подходит!

Пусть. Тогда

Тогда - наибольший отрицательный корень!

Ответ:

Задача №2

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

Теперь снова выражаем слева:

Умножаем обе стороны на

Делим обе стороны на

Всё, что осталось - это перенести вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

У нас опять получается 2 серии корней, одна с, а другая с.

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при, он будет равен и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии

Первый отрицательный корень будет получен также при и будет равен. Так как, то - наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: .

Задача №3

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

Как и раньше, выражаем в левой части:

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить. И корень этот равен.

Ответ:

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.

1. Ре-ши-те урав-не-ние.
   
2. Ре-ши-те урав-не-ние.
   В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.
3. Ре-ши-те урав-не-ние.
   В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

Сверься с решениями и ответами:

Задача №1

Выразим

Наименьший положительный корень получится, если положить, так как, то

Ответ:

Задача №2

Наименьший положительный корень получится при.

Он будет равен.

Ответ: .

Задача №3

При получаем, при имеем.

Ответ: .

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

1. Тригонометрические уравнения для начального уровня (см выше).

Более сложные тригонометрические уравнения - это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

1. Решение уравнения
2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать - это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

Четыре категории задач повышенной сложности (ранее С1)

1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
2. Уравнения, сводящиеся к виду.
3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на, получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

Промежуток вот такой:

Или его еще можно записать вот так:

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

Так как наш промежуток - целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные, все равно они дадут неотрицательные корни.

Возьмем, тогда - многовато, не попадает.

Пусть, тогда - снова не попал.

Еще одна попытка - , тогда - есть, попал! Первый корень найден!

Стреляю еще раз: , тогда - еще раз попал!

Ну и еще разок: : - это уже перелет.

Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .

Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):

Недолет!

Снова недолет!

Опять недолет!

Попал!

Перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения

• Решите уравнение

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

Опять не вздумай сокращать!

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

Теперь снова поиск корней.

Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:

Теперь первая серия и она попроще:

Если - подходит

Если - тоже годится

Если - уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

Самостоятельная работа. 3 уравнения.

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

1. Решите уравнение
   Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие промежутку.
2. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку
3. Ре-ши-те урав-не-ние
   Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Уравнение 1.

И снова формула приведения:

Первая серия корней:

Вторая серия корней:

Начинаем отбор для промежутка

Ответ: , .

Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

тогда или

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса - вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как, то.

Составим таблицу: промежуток:

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi

Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

Сократим на 2:

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать...

Уравнения вида:

Данное уравнение решается делением обеих частей на:

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

Ответ: .

Уравнения, сводящиеся к виду:

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

Решается делением обеих частей на косинус:

1. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
2. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Пример 1.

Первое - ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на

Делаем отсев корней:

Промежуток:

Ответ:

Пример 2.

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

Основное тригонометрическое тождество:

Синус двойного угла:

Окончательно получим:

Отсев корней: промежуток.

Ответ: .

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример , чтобы ты мог поупражняться:

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на:

Отсев корней:

Ответ: .

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Пример.

• Решить уравнение: .
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

Первое уравнение имеет корни:

А второе вот такие:

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку

Ответ: .

Давай вместе разберем чуть более сложный пример :

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Ука-жи-те корни дан-но-го урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

А заодно и

Тогда мое уравнение примет вид:

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на:

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно! Сделаем замену, тогда получим:

Уравнение имеет следующие корни:

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке.

Нам также нужно учитывать, что

Так как и, то

Ответ:

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение :

• Ре-ши-те урав-не-ние
• Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

Теперь я могу перейти к уравнению:

Но при (то есть при).

Теперь все готово для замены:

Тогда или

Однако обрати внимание, что если, то при этом!

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

Теперь производим отсев корней на промежутке:

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке, и он равен.

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного - самостоятельно решить две задачи. Вот они.

1. Решите уравнение
   Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
2. Ре-ши-те урав-не-ние
   Ука-жи-те корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

1. Работаем по формулам приведения:

   Подставляем в уравнение:

   Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

   Теперь легко сделать замену:

   Ясно, что - посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:

   Ищем нужные нам корни на промежутке

   Ответ: .

2. 
   Здесь замена видна сразу:

   Тогда или

   	- подходит!	- подходит!
   	- подходит!	- подходит!
   	- много!	- тоже много!

   Ответ:

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным . Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Пример 1.

Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку.

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение - это все равно, что решить систему

Решим каждое из уравнений:

А теперь второе:

Теперь давай посмотрим на серию:

Ясно, что нам не подходит вариант, так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же - то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку.

Тогда корни следующие:

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

Решение этого неравенства:

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство.

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить. Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ:

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Пример 3.

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

Теперь второе уравнение:

Теперь самое сложное - выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

Число надо понимать как радианы. Так как радиана - это примерно градусов, то радианы - порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

Оно меньше нуля!

А значит - не является корнем уравнения.

Теперь черед.

Сравним это число с нулем.

Котангенс - функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы - это примерно градусов. В то же время

так как, то, а значит и
,

Ответ: .

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения - снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

Пример 4.

Корень не годится, ввиду ограниченности косинуса

Теперь второе:

В то же время по определению корня:

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия - ей диаметрально противоположная - и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ: ,

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью» . Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Пример 5.

Ну, ничего не поделаешь - поступаем как и раньше.

Теперь работаем со знаменателем:

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

Если - четное, то имеем:

так как, то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

Если же -нечетное, то:

В какой четверти лежит угол? Это угол второй четверти. Тогда все углы - снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

Подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

Подставляем в наше неравенство:

Если - четное, то

Углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если - нечетное, то:

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ:

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

Тренировка

1. Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку.

Решения:

1. 
   Первое уравнение:
   или
   ОДЗ корня:

   Второе уравнение:

   Отбор корней, которые принадлежат промежутку

   Ответ:

Или
или
Но

Рассмотрим: . Если - четное, то
- не подходит!
Если - нечетное, : - подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
или
Отбор корней на промежутке:

	- не подходит	- подходит
	- подходит	- много
	- подходит	много

Ответ: , .

Или
Так как, то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

Вторая часть:

В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

Проверяем найденные в первом уравнении корни:

Если знак:

Углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
Если знак:

Угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: , .

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тригонометрическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ - с использованием формул.

Второй способ - через тригонометрическую окружность.

Позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.